目录 9
《现代数学基础丛书》序 5
前言 6
第1章基础知识 15
1.1经典量子力学简介 16
1.2量子力学中的波动方程 21
1.2.1含时线性Schrödinger方程 22
1.2.2概率守恒形式 26
1.2.3算符的对易关系 27
1.2.4伴随/厄米算子 28
1.2.5不确定性原理和关系 34
1.3特殊函数 36
1.3.1符号函数:sgn(x),csgn(z) 37
1.3.2Diracδ(x)广义函数 38
1.3.3Kroneckerδ ij 函数 41
1.3.4Levi-Civita符号函数 42
1.4定态线性Schrödinger方程 43
1.4.1零外势:自由粒子 45
1.4.2调和外势 45
1.4.3Diracδ(x)函数势 46
1.4.4无反射Pöschl-Teller势 48
1.4.5无限深方势阱 48
1.5高维定态线性Schrödinger方程 49
1.5.1二维极坐标系情况——Bessel函数 49
1.5.2三维柱坐标系情况——Bessel函数 52
1.5.3三维球坐标系情况——Bessel和Legendre函数 52
1.6非厄米PT对称与PT量子力学 54
1.7PT对称Hamilton算子和性质 57
1.8含PT对称势的线性Schrödinger方程 59
1.9非厄米PT对称复势 61
1.9.1PT对称Bessis-Bender-Boettcher势 61
1.9.2PT对称Scarf-II势 62
1.9.3PT对称势与Miura变换 63
1.9.4PT对称Rosen-Morse势 64
1.9.5PT对称周期势 64
1.9.6PT对称矩阵型势 65
1.9.7PT对称其他类型势 65
1.10超对称伙伴势 65
1.10.1量子力学中的超对称势 65
1.10.2PT量子力学中的超对称势 68
1.10.3超对称的其他分解 69
1.11PT对称广义非线性Schrödinger方程 70
1.12可积与近可积PT对称非线性系统 72
1.12.1经典孤子与可积非线性系统 72
1.12.2近可积PT对称非线性波系统 76
1.12.3孤子方程的PT对称拓展 79
1.12.4PT对称非局域可积和非可积系统 79
1.13分数阶量子力学 81
1.13.1分数阶线性Schrödinger方程 81
1.13.2分数阶非线性Schrödinger方程 83
1.14PT对称的分数阶非线性Schrödinger方程 83
1.15可积分数阶孤子方程 84
1.15.1单Lévy指标情况 84
1.15.2多Lévy指标和混合Lévy指标情况 87
1.15.3不同Lévy指标情况 88
第2章含广义PT对称Scarf-II势的非线性Schrödinger方程 89
2.1PT对称非线性Schrödinger方程 89
2.1.1PT对称非线性光学系统 89
2.1.2含PT对称势的定态非线性Schrödinger方程 90
2.2含波数k的PT对称Scarf-II势中的孤子 91
2.2.1Hamilton量特征值问题与PT对称自发破缺 92
2.2.2孤子解的存在条件 93
2.2.3孤子解的稳定性 96
2.3修正PT对称Scarf-II多势阱中的孤子及稳定性 101
2.4修正PT对称Scarf-II双势阱中的孤子 105
2.4.1基本幂律孤子形成和动力学 107
2.4.2数值非线性模态及其稳定性分析 109
2.4.3高阶孤子及其动力学演化 109
2.5PT对称势中的二维幂律孤子 111
2.5.1二维幂律孤子 111
2.5.2二维涡旋孤子的动力学性质 113
2.6三维广义PT对称外势中的孤子 116
第3章含PT对称调和-高斯势的非线性Schrödinger方程 120
3.1PT对称非线性系统的解析理论和方法 120
3.1.1研究背景 120
3.1.2非线性波方程的构造 121
3.1.3孤子的线性稳定性分析 123
3.2摄动PT对称调和势 124
3.3PT对称调和-高斯单势阱 125
3.3.1广义Hamilton算子谱和PT对称相位破缺 126
3.3.2PT对称调和单势阱中的孤子:稳定性和绝热激发 127
3.4PT对称调和-高斯双势阱 131
3.4.1广义Hamilton算子谱和PT对称相位破缺 131
3.4.2PT对称调和-高斯双势阱中的孤子:稳定性和绝热激发 133
3.5PT对称非调和-高斯双势阱 135
3.5.1PT对称六次双势阱的(未)破缺参数区域 137
3.5.2保守厄米非线性系统中的对称破缺解 138
3.5.3PT对称孤子解及其稳定性 138
3.5.4PT对称数值孤子族与稳定性 141
第4章含动量调控和(非)PT对称势的Gross-Pitaevskii方程 147
4.1PT对称的Gross-Pitaevskii方程 147
4.1.1广义Gross-Pitaevskii方程 147
4.1.2定态解的一般理论 149
4.2空间不变动量调控下PT对称的线性和非线性模态 150
4.2.1PT对称Scarf-II势 150
4.2.2PT对称α-幂律Scarf-II势 160
4.2.3PT对称调和-高斯势 165
4.3非周期空间变化的动量调控与PT对称Scarf-II势中的孤子 174
4.3.1PT对称的相位(未)破缺 174
4.3.2非线性局域模态及其稳定性 177
4.4空间周期变化的动量调控与PT晶格势中的隙孤子 179
4.4.1广义Hamilton算子谱问题 179
4.4.2非线性波的存在区域与稳定性 184
4.5二维PT对称势的非线性Schrödinger方程 186
4.5.1二维能带结构和光束衍射 186
4.5.2二维非线性波及其动力学稳定性 187
4.5.3解的横向功率流强度 190
4.6三维PT对称GP方程的孤子 191
第5章含有效质量与PT对称势的非线性Schrödinger方程 195
5.1有效质量调控的Hamilton算子 195
5.2PT对称的有效质量模型的理论与数值方法 196
5.2.1一般理论 196
5.2.2一维和二维隙孤子的数值方法 198
5.3PT对称光晶格势下的能带结构 199
5.3.1Floquet-Bloch理论 199
5.3.2PT对称晶格势下的能带与带隙 200
5.3.3PT对称晶格势中的衍射动力学 202
5.4隙孤子的存在区域和稳定性 203
5.5二维PT对称有效质量模型 204
5.5.1二维能带结构和光束衍射 205
5.5.2二维非线性局域模态与动力学稳定性 206
5.6非周期有效质量调控的孤子 208
第6章含PT对称势与无界增益-损耗项的非线性Schrödinger方程 211
6.1PT对称的非线性波方程 211
6.1.1定态解的一般理论 212
6.1.2PT对称调和-高斯势与无界增益-损耗项的Hamilton算子 213
6.1.3基态孤子、线性稳定性与动力学行为 214
6.1.4孤子的相互作用与稳定激发 216
6.1.5数值孤子解及其稳定性 218
6.2高维PT对称调和-高斯势中的稳定孤子 219
6.2.1二维孤子与稳定性 220
6.2.2三维时空光孤子与动力学行为 223
第7章含PT对称有理函数势的非线性Schrödinger方程 225
7.1PT对称有理函数势中的相位破缺 225
7.2精确有理孤子解与稳定性 226
第8章含任意PT对称势的广义非线性Schrödinger方程 229
8.1PT对称广义非线性Schrödinger方程 229
8.2两种任意形式的PT对称势与解析解 231
8.3广义PT对称Scarf-II势中的孤子及其稳定性 232
8.4广义PT对称厄米-高斯势中的孤子及其稳定性 237
8.5PT对称渐近周期势下的孤子行为 240
第9章含PT对称δ(x)-sgn(x)函数势的非线性Schrödinger方程 244
9.1PT对称δ(x)-sgn(x)势 244
9.2PT对称δ(x)-sgn(x)函数单势阱:相变、peakon解及稳定性 245
9.2.1PT对称相位破缺 245
9.2.2peakon解及其稳定性 247
9.3PT对称sgn(x)函数双势阱(n>0):孤子及稳定性分析 248
9.3.1线性谱问题的PT对称相位破缺 248
9.3.2平顶孤子族和稳定性 250
9.3.3孤波对平顶孤子的影响 252
9.3.4平顶孤子的稳定激发 253
第10章含PT对称势的导数非线性Schrödinger方程 255
10.1非线性物理模型及一般理论 255
10.1.1导数非线性Schrödinger方程 255
10.1.2PT对称导数非线性Schrödinger方程 256
10.1.3一般的解析理论 257
10.2PT对称Scarf-II势中的线性和非线性局域模态 258
10.2.1线性谱问题 258
10.2.2非线性模态、稳定性及动力学行为 259
10.2.3非线性局域模态的激发 265
10.3PT对称调和-厄米-高斯势中的线性和非线性局域模态 267
10.3.1线性PT对称破缺 268
10.3.2非线性模态及其稳定性 269
10.3.3非线性模态的激发 272
第11章含PT对称势的三阶非线性Schrödinger方程 275
11.1含类Scarf-II势的三阶非线性Schrödinger方程 275
11.1.1线性谱问题 276
11.1.2非线性局域模态与稳定性 277
11.2含PT对称调和-高斯势与空间变系数三阶色散的模型 279
第12章含近PT对称势的Ginzburg-Landau方程 282
12.1Ginzburg-Landau方程 282
12.2近PT对称非线性物理模型 282
12.3定态解和线性稳定性理论 283
12.4近PT对称Scarf-II势和线性谱问题 284
12.4.1孤子解和动力学性质 285
12.4.2线性稳定性和谱性质 285
12.4.3孤子的相互作用 286
12.4.4孤子的能量流动 287
12.5孤子稳定激发 289
第13章PT对称的耦合非线性波系统 291
13.1三次耦合非线性波系统 291
13.1.1一般数学理论 291
13.1.2定态解及其稳定性 292
13.1.3Stokes参数的动力系统 298
13.2五次耦合非线性波系统 301
13.2.1定态解及其稳定性 301
13.2.2Stokes参数的动力系统 305
第14章含PT对称势的非局域非线性Schrödinger方程 307
14.1PT对称非局域模型 307
14.2PT对称势作用下的线性谱问题、非线性模态及稳定性 308
14.2.1广义PT对称Scarf-II势 308
14.2.2广义PT对称Rosen-Morse势 310
14.2.3广义PT对称Rosen-Morse-II势 312
第15章含PT对称势的三波非线性系统 315
15.1PT对称外势作用下的三波系统 315
15.1.1Scarf-II外势下的非线性模态 315
15.1.2线性稳定性分析 317
15.1.3非线性模态的绝热激发 318
15.1.4PT对称多阱Scarf-II外势 322
15.2PT对称的三波耦合系统 324
15.2.1非线性模态及其线性谱 324
15.2.2非线性模态及其动力学行为 326
参考文献 332

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