Dieses Standardlehrwerk ermöglicht einen nahtlosen Übergang von der Schul- zur Hochschulmathematik mit einem klaren Fokus auf der Praxis. Dabei ist die Darstellung auf die Bedürfnisse und Anwendungen der Ingenieur- und Naturwissenschaften abgestimmt, die die Mathematik als Werkzeug und Hilfsmittel benötigen. Das sechsbändige Lehr- und Lernsystem besticht durch seine Verständlichkeit und Anschaulichkeit. Über 500 vollständig durchgerechnete Beispiele aus Naturwissenschaft und Technik belegen den starken Praxisbezug. Die aktuelle Auflage wurde vor allem im Bereich der Funktionen um spezielle ebene Kurven, wie z. B. Zykloiden und Spiralen, deutlich erweitert und um Übungsaufgaben dazu ergänzt.

lgrsnf/sanet.st_3658458011.pdf

MATHEMATIK FUR INGENIEURE UND NATURWISSENSCHAFTLER BAND 1 : ein lehr- und arbeitsbuch fur das... grundstudium

Springer Spektrum. in Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

Gabler-Verlag. in Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

16., überarb. u. erw. Auflage 2025, Wiesbaden

Germany, Germany

S.l

Publisher PDF | Published: 01 November 2024

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsübersicht Band 2
Inhaltsübersicht Band 3
I Allgemeine Grundlagen
1 Einige grundlegende Begriffe über Mengen
1.1 Definition und Darstellung einer Menge
1.2 Mengenoperationen
2 Die Menge der reellen Zahlen
2.1 Darstellung der reellen Zahlen und ihrer Eigenschaften
2.2 Anordnung der Zahlen, Ungleichung, Betrag
2.3 Teilmengen und Intervalle
3 Gleichungen
3.1 Lineare Gleichungen
3.2 Quadratische Gleichungen
3.3 Gleichungen 3. und höheren Grades
3.3.1 Allgemeine Vorbetrachtung
3.3.2 Kubische Gleichungen vom speziellen Typ ax3 + bx2 + c x = 0
3.3.3 Biquadratische Gleichungen
3.4 Wurzelgleichungen
3.5 Betragsgleichungen
3.5.1 Definition der Betragsfunktion
3.5.2 Analytische Lösung einer Betragsgleichung durch Fallunterscheidung (Beispiel)
4 Ungleichungen
5 Lineare Gleichungssysteme
5.1 Ein einführendes Beispiel
5.2 Der Gaußsche Algorithmus
5.3 Ein Anwendungsbeispiel: Berechnung eines elektrischen Netzwerkes
6 Der Binomische Lehrsatz
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1 und 2
Zu Abschnitt 3
Zu Abschnitt 4
Zu Abschnitt 5
Zu Abschnitt 6
II Vektoralgebra
1 Grundbegriffe
1.1 Definition eines Vektors
1.2 Gleichheit von Vektoren
1.3 Parallele, antiparallele und kollineare Vektoren
1.4 Vektoroperationen
1.4.1 Addition von Vektoren
1.4.2 Subtraktion von Vektoren
1.4.3 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
2 Vektorrechnung in der Ebene
2.1 Komponentendarstellung eines Vektors
2.2 Darstellung der Vektoroperationen
2.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
2.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
2.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
2.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
2.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
2.4 Linear unabhängige Vektoren
2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Resultierende eines ebenen Kräftesystems
3 Vektorrechnung im 3-dimensionalen Raum
3.1 Komponentendarstellung eines Vektors
3.2 Darstellung der Vektoroperationen
3.2.1 Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar
3.2.2 Addition und Subtraktion von Vektoren
3.3 Skalarprodukt zweier Vektoren
3.3.1 Definition und Berechnung eines Skalarproduktes
3.3.2 Winkel zwischen zwei Vektoren
3.3.3 Richtungswinkel eines Vektors
3.3.4 Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor
3.3.5 Ein Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft
3.4 Vektorprodukt zweier Vektoren
3.4.1 Definition und Berechnung eines Vektorproduktes
3.4.2 Anwendungsbeispiele
3.4.2.1 Drehmoment (Moment einer Kraft)
3.4.2.2 Bewegung von Ladungsträgern in einem Magnetfeld (Lorentz-Kraft)
3.5 Spatprodukt (gemischtes Produkt)
3.6 Linear unabhängige Vektoren
4 Anwendungen in der Geometrie
4.1 Vektorielle Darstellung einer Geraden
4.1.1 Punkt-Richtungs-Form einer Geraden
4.1.2 Zwei-Punkte-Form einer Geraden
4.1.3 Abstand eines Punktes von einer Geraden
4.1.4 Abstand zweier paralleler Geraden
4.1.5 Abstand zweier windschiefer Geraden
4.1.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel zweier Geraden
4.2 Vektorielle Darstellung einer Ebene
4.2.1 Punkt-Richtungs-Form einer Ebene
4.2.2 Drei-Punkte-Form einer Ebene
4.2.3 Gleichung einer Ebene senkrecht zu einem Vektor
4.2.4 Abstand eines Punktes von einer Ebene
4.2.5 Abstand einer Geraden von einer Ebene
4.2.6 Schnittpunkt und Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene
4.2.7 Abstand zweier paralleler Ebenen
4.2.8 Schnittgerade und Schnittwinkel zweier Ebenen
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 2 und 3
Zu Abschnitt 4
III Funktionen und Kurven
1 Definition und Darstellung einer Funktion
1.1 Definition einer Funktion
1.2 Darstellungsformen einer Funktion
1.2.1 Analytische Darstellung
1.2.2 Darstellung durch eine Wertetabelle (Funktionstafel)
1.2.3 Graphische Darstellung
1.2.4 Parameterdarstellung einer Funktion
2 Allgemeine Funktionseigenschaften
2.1 Nullstellen
2.2 Symmetrieverhalten
2.3 Monotonie
2.4 Periodizität
2.5 Umkehrfunktion oder inverse Funktion
3 Koordinatentransformationen
3.1 Ein einführendes Beispiel
3.2 Parallelverschiebung eines kartesischen Koordinatensystems
3.3 Übergang von kartesischen Koordinaten zu Polarkoordinaten
3.3.1 Definition der Polarkoordinaten
3.3.2 Darstellung einer Kurve in Polarkoordinaten
4 Grenzwert und Stetigkeit einer Funktion
4.1 Reelle Zahlenfolgen
4.1.1 Definition und Darstellung einer reellen Zahlenfolge
4.1.2 Grenzwert einer Folge
4.2 Grenzwert einer Funktion
4.2.1 Grenzwert einer Funktion für x → x0
4.2.2 Grenzwert einer Funktion für x → ±∞
4.2.3 Rechenregeln für Grenzwerte
4.2.4 Ein Anwendungsbeispiel:
Erzwungene Schwingung eines mechanischen Systems
4.3 Stetigkeit einer Funktion
4.4 Unstetigkeiten (Lücken, Pole, Sprünge)
5 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen)
5.1 Definition einer ganzrationalen Funktion
5.2 Konstante und lineare Funktionen
5.3 Quadratische Funktionen
5.4 Polynomfunktionen höheren Grades
5.5 Horner-Schema und Nullstellenberechnung einer Polynomfunktion
5.6 Interpolationspolynome
5.6.1 Allgemeine Vorbetrachtung
5.6.2 Interpolationspolynom von Newton
5.7 Ein Anwendungsbeispiel: Biegelinie eines Balkens
6 Gebrochenrationale Funktionen
6.1 Definition einer gebrochenrationalen Funktion
6.2 Nullstellen, Definitionslücken, Pole
6.3 Asymptotisches Verhalten einer gebrochenrationalen Funktion im Unendlichen
6.4 Ein Anwendungsbeispiel: Kapazität eines Kugelkondensators
7 Potenz- und Wurzelfunktionen
7.1 Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten
7.2 Wurzelfunktionen
7.3 Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
7.4 Ein Anwendungsbeispiel:
Beschleunigung eines Elektrons in einem elektrischen Feld
8 Kegelschnitte
8.1 Darstellung eines Kegelschnittes durch eine algebraische Gleichung 2. Grades mit konstanten Koeffizienten
8.2 Gleichungen eines Kreises
8.3 Gleichungen einer Ellipse
8.4. Gleichungen einer Hyperbel
8.5. Gleichungen einer Parabel
8.6 Beispiele zu den Kegelschnitten
9 Trigonometrische Funktionen
9.1 Grundbegriffe
9.2 Sinus- und Kosinusfunktion
9.3 Tangens- und Kotangensfunktion
9.4 Wichtige Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen
9.5 Anwendungen in der Schwingungslehre
9.5.1 Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)
9.5.1.1 Die allgemeine Sinus- und Kosinusfunktion
9.5.1.2 Harmonische Schwingung eines Federpendels (Feder-Masse-Schwingers)
9.5.2 Darstellung von Schwingungen im Zeigerdiagramm
9.5.3 Superposition (Überlagerung) gleichfrequenter Schwingungen
9.5.4 Lissajous-Figuren
10 Arkusfunktionen
10.1 Das Problem der Umkehrung trigonometrischer Funktionen
10.2 Arkussinusfunktion
10.3 Arkuskosinusfunktion
10.4 Arkustangens- und Arkuskotangensfunktion
10.5 Trigonometrische Gleichungen
11 Exponentialfunktionen
11.1 Grundbegriffe
11.2 Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion
11.3 Spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Funktionstypen mit e-Funktionen
11.3.1 Abklingfunktionen
11.3.2 Sättigungsfunktionen
11.3.3 Wachstumsfunktionen
11.3.4 Gedämpfte Schwingungen
11.3.5 Gauß-Funktionen
12 Logarithmusfunktionen
12.1 Grundbegriffe
12.2 Definition und Eigenschaften einer Logarithmusfunktion
12.3 Exponential- und Logarithmusgleichungen
13 Hyperbel- und Areafunktionen
13.1 Hyperbelfunktionen
13.1.1 Definition der Hyperbelfunktionen
13.1.2 Die Hyperbelfunktionen y = sinh x und y = cosh x
13.1.3 Die Hyperbelfunktionen y = tanh x und y = coth x
13.1.4 Wichtige Beziehungen zwischen den Hyperbelfunktionen
13.2 Areafunktionen
13.2.1 Definition der Areafunktionen
13.2.2 Die Areafunktionen y = arsinh x und y = arcosh x
13.2.3 Die Areafunktionen y = artanh x und y = arcoth x
13.2.4 Darstellung der Areafunktionen durch Logarithmusfunktionen
13.2.5 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
14 Spezielle ebene Kurven
14.1 Rollkurven oder Zykloiden
14.1.1 Gewöhnliche Zykloiden
14.1.2 Epizykloiden
14.1.3 Hypozykloiden
14.2 Astroide (Sternkurve)
14.3 Kardioide (Herzkurve)
14.4 Lemniskate oder Schleifenkurve von Bernoulli
14.5 Spiralen
14.5.1 Archimedische Spirale
14.5.2 Logarithmische Spirale
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
Zu Abschnitt 2
Zu Abschnitt 3
Zu Abschnitt 4
Zu Abschnitt 5
Zu Abschnitt 6
Zu Abschnitt 7
Zu Abschnitt 8
Zu Abschnitt 9 und 10
Zu Abschnitt 11, 12 und 13
Zu Abschnitt 14
IV Differentialrechnung
1 Differenzierbarkeit einer Funktion
1.1 Das Tangentenproblem
1.2 Ableitung einer Funktion
1.3 Ableitung der elementaren Funktionen
2 Ableitungsregeln
2.1 Faktorregel
2.2 Summenregel
2.3 Produktregel
2.4 Quotientenregel
2.5 Kettenregel
2.6 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln
2.7 Logarithmische Ableitung
2.8 Ableitung der Umkehrfunktion
2.9 Implizite Differentiation
2.10 Differential einer Funktion
2.11 Höhere Ableitungen
2.12 Ableitung einer in der Parameterform dargestellten Funktion
(Kurve)
2.13 Anstieg einer in Polarkoordinaten dargestellten Kurve
2.14 Einfache Anwendungsbeispiele aus Physik und Technik
2.14.1 Bewegung eines Massenpunktes (Geschwindigkeit, Beschleunigung)
2.14.2 Induktionsgesetz
2.14.3 Elektrischer Schwingkreis
3 Anwendungen der Differentialrechnung
3.1 Tangente und Normale
3.2 Linearisierung einer Funktion
3.3 Monotonie und Krümmung einer Kurve
3.3.1 Geometrische Vorbetrachtungen
3.3.2 Monotonie
3.3.3 Krümmung einer ebenen Kurve
3.4 Charakteristische Kurvenpunkte
3.4.1 Relative oder lokale Extremwerte
3.4.2 Wendepunkte, Sattelpunkte
3.4.3 Ergänzungen
3.5 Extremwertaufgaben
3.6 Kurvendiskussion
3.7 Näherungsweise Lösung einer Gleichung nach dem Tangentenverfahren von Newton
3.7.1 Iterationsverfahren
3.7.2 Tangentenverfahren von Newton
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
Zu Abschnitt 2
Zu Abschnitt 3
V Integralrechnung
1 Integration als Umkehrung der Differentiation
2 Das bestimmte Integral als Flächeninhalt
2.1 Ein einführendes Beispiel
2.2 Das bestimmte Integral
3 Unbestimmtes Integral und Flächenfunktion
4 Der Fundamentalsatz der Differentialund
Integralrechnung
5 Grund- oder Stammintegrale
6 Berechnung bestimmter Integrale unter Verwendung einer Stammfunktion
7 Elementare Integrationsregeln
8 Integrationsmethoden
8.1 Integration durch Substitution
8.1.1 Ein einführendes Beispiel
8.1.2 Spezielle Integralsubstitutionen
8.2 Partielle Integration oder Produktintegration
8.3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion durch Partialbruchzerlegung des Integranden
8.3.1 Partialbruchzerlegung
8.3.2 Integration der Partialbrüche
8.4 Numerische Integrationsmethoden
8.4.1 Trapezformel
8.4.2 Simpsonsche Formel
9 Uneigentliche Integrale
9.1 Unendliches Integrationsintervall
9.2 Integrand mit einer Unendlichkeitsstelle (Pol)
10 Anwendungen der Integralrechnung
10.1 Einfache Beispiele aus Physik und Technik
10.1.1 Integration der Bewegungsgleichung
10.1.2 Biegelinie (elastische Linie) eines einseitig eingespannten Balkens
10.1.3 Spannung zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes
10.2 Flächeninhalt
10.2.1 Bestimmtes Integral und Flächeninhalt (Ergänzungen)
10.2.2 Flächeninhalt zwischen zwei Kurven
10.3 Volumen eines Rotationskörpers (Rotationsvolumen)
10.4 Bogenlänge einer ebenen Kurve
10.5 Mantelfläche eines Rotationskörpers (Rotationsfläche)
10.6 Arbeits- und Energiegrößen
10.7 Lineare und quadratische Mittelwerte
10.8 Schwerpunkt homogener Flächen und Körper
10.8.1 Grundbegriffe
10.8.2 Schwerpunkt einer homogenen ebenen Fläche
10.8.3 Schwerpunkt eines homogenen Rotationskörpers
10.9 Massenträgheitsmomente
10.9.1 Grundbegriffe und einfache Beispiele
10.9.2 Satz von Steiner
10.9.3 Massenträgheitsmoment eines homogenen Rotationskörpers
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1 bis 7
Zu Abschnitt 8
Zu Abschnitt 9
Zu Abschnitt 10
VI Potenzreihenentwicklungen
1 Unendliche Reihen
1.1 Ein einführendes Beispiel
1.2 Grundbegriffe
1.2.1 Definition einer unendlichen Reihe
1.2.2 Konvergenz und Divergenz einer unendlichen Reihe
1.2.3 Über den Umgang mit unendlichen Reihen
1.3 Konvergenzkriterien
1.3.1 Quotientenkriterium
1.3.2 Wurzelkriterium
1.3.3 Vergleichskriterien
1.3.4 Leibnizsches Konvergenzkriterium für alternierende Reihen
1.4 Eigenschaften konvergenter bzw. absolut konvergenter Reihen
2 Potenzreihen
2.1 Definition einer Potenzreihe
2.2 Konvergenzverhalten einer Potenzreihe
2.3 Eigenschaften der Potenzreihen
3 Taylor-Reihen
3.1 Ein einführendes Beispiel
3.2 Potenzreihenentwicklung einer Funktion
3.2.1 Mac Laurinsche Reihe
3.2.2 Taylorsche Reihe
3.2.3 Tabellarische Zusammenstellung wichtiger Potenzreihenentwicklungen
3.3 Anwendungen der Potenzreihenentwicklungen
3.3.1 Näherungspolynome einer Funktion
3.3.2 Integration durch Potenzreihenentwicklung des Integranden
3.3.3 Grenzwertregel von Bernoulli und de L’Hospital
3.4 Ein Anwendungsbeispiel: Freier Fall unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
Zu Abschnitt 2
Zu Abschnitt 3
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
1 Definition und Darstellung einer komplexen Zahl
1.1 Definition einer komplexen Zahl
1.2 Komplexe oder Gaußsche Zahlenebene
1.3 Weitere Grundbegriffe
1.4 Darstellungsformen einer komplexen Zahl
1.4.1 Algebraische oder kartesische Form
1.4.2 Trigonometrische Form
1.4.3 Exponentialform
1.4.4 Zusammenstellung der verschiedenen Darstellungsformen
1.4.5 Umrechnungen zwischen den Darstellungsformen
2 Komplexe Rechnung
2.1 Grundrechenarten für komplexe Zahlen
2.1.1 Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
2.1.2 Multiplikation und Division komplexer Zahlen
2.1.3 Grundgesetze für komplexe Zahlen (Zusammenfassung)
2.2 Potenzieren
2.3 Radizieren (Wurzelziehen)
2.4 Natürlicher Logarithmus
3 Anwendungen der komplexen Rechnung
3.1 Symbolische Darstellung harmonischer Schwingungen im Zeigerdiagramm
3.1.1 Darstellung einer Schwingung durch einen rotierenden Zeiger
3.1.2 Ungestörte Überlagerung gleichfrequenter Schwingungen
3.1.3 Ein Anwendungsbeispiel: Überlagerung gleichfrequenter Wechselspannungen
3.2 Symbolische Berechnung eines Wechselstromkreises
3.2.1 Das Ohmsche Gesetz der Wechselstromtechnik
3.2.2 Komplexe Wechselstromwiderstände und Leitwerte
3.2.3 Ein Anwendungsbeispiel:
Der Wechselstromkreis in Reihenschaltung
4 Ortskurven
4.1 Ein einführendes Beispiel
4.2 Ortskurve einer parameterabhängigen komplexen Größe
4.3 Anwendungsbeispiele: Einfache Netzwerkfunktionen
4.3.1 Reihenschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Induktivität (Widerstandsortskurve)
4.3.2 Parallelschaltung aus einem ohmschen Widerstand und einer Kapazität (Leitwertortskurve)
4.4 Inversion einer Ortskurve
4.4.1 Inversion einer komplexen Größe (Zahl)
4.4.2 Inversionsregeln
4.4.3 Ein Anwendungsbeispiel: Inversion einer Widerstandsortskurve
Übungsaufgaben
Zu Abschnitt 1
Zu Abschnitt 2
Zu Abschnitt 3
Zu Abschnitt 4
Anhang: Lösungen der Übungsaufgaben
I Allgemeine Grundlagen
Abschnitt 1 und 2
Abschnitt 3
Abschnitt 4
Abschnitt 5
Abschnitt 6
II Vektoralgebra
Abschnitt 2 und 3
Abschnitt 4
III Funktionen und Kurven
Abschnitt 1
Abschnitt 2
Abschnitt 3
Abschnitt 4
Abschnitt 5
Abschnitt 6
Abschnitt 7
Abschnitt 8
Abschnitt 9 und 10
Abschnitt 11, 12, und 13
Abschnitt 14
IV Differentialrechnung
Abschnitt 1
Abschnitt 2
Abschnitt 3
V Integralrechnung
Abschnitt 1 bis 7
Abschnitt 8
Abschnitt 9
Abschnitt 10
VI Potenzreihenentwicklungen
Abschnitt 1
Abschnitt 2
Abschnitt 3
VII Komplexe Zahlen und Funktionen
Abschnitt 1
Abschnitt 2
Abschnitt 3
Abschnitt 4
Literaturhinweise
Sachwortverzeichnis

2024-10-06